Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Los STARKs son un sistema de prueba basado en hash, a diferencia de los SNARKs que son basados en curvas elípticas. Una de las principales razones de la ineficiencia actual de los STARKs es que la mayoría de los valores numéricos en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al expandir los datos utilizando codificación de Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el dominio, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.

Como se muestra en la tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits aún presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, codificando de manera compacta y eficiente sin espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

Tabla 1: Rutas de derivación de STARKs

| Generación | Ancho de palabra | Características | |------|------|------| | Primera generación | 252bit | Gran dominio, gran desperdicio de espacio | | Segunda generación | 64bit | Dominio medio, desperdicio de espacio considerable |
| Tercera generación | 32bit | Pequeño dominio, todavía hay espacio desperdiciado | | 4ª generación | 1bit | dominio binario, sin espacio desperdiciado |

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, el estudio de los campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de Cifrado Avanzado (AES), basado en el campo F28;

• Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl, que llegó a la final de SHA-3, basada en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y utilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo necesitan operar en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en el dominio pequeño. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI todavía necesitan profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del rastro en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y basar la extensión de Reed-Solomon en ese cuadrado. Este método, al tiempo que garantiza la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:

• Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico de Teoría de la Información ): PIOP(: PIOP, como núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera incremental a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, que difieren en su forma de manejar las expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico )Polynomial Commitment Scheme, PCS(: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual el probador puede comprometerse con un polinomio y verificar más tarde los resultados de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI)Fast Reed-Solomon IOPP( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o curva elíptica adecuados, se pueden construir sistemas de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 está diseñado con un enfoque en la escalabilidad y en la eliminación de la configuración confiable en el protocolo ZCash.

• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, el PIOP y el PCS seleccionados deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de las pruebas SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin necesidad de una configuración confiable, y si puede admitir funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. Específicamente, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios )towers of binary fields( constituye la base de sus cálculos, lo que permite realizar operaciones simplificadas dentro del dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo )PIOP(, asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una sólida seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de pequeños dominios )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente sobre dominios binarios y reduce la sobrecarga normalmente asociada con dominios grandes.

) 2.1 Campos finitos: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, soportan operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas que son sensibles al rendimiento. Además, la estructura de los campos binarios apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que los campos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento de campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ( como se usa en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que el campo binario no requiere llevar en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede verse como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o descomponerse en dos elementos de campo torre de 64 bits, cuatro elementos de campo torre de 32 bits, 16 elementos de campo torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños se pueden empaquetar en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius se beneficia de esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de las operaciones de multiplicación, elevación al cuadrado y cálculo de inversos en campos binarios en torre de n bits ) descomponiéndose en un subcampo de m bits (.

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) 2.2 PIOP: versión adaptada del Producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable al campo binario

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación fundamentales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones fundamentales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testimonio confidencial ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x, ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia en la permutación entre las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto del polinomio.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en un hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en evaluación de polinomios univariables, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales y realizar el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de suma.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: En HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea distinto de cero en toda la hipercubo, y el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar dicho valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación entre Columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de arreglo polinómico más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo PIOPSumCheck existente, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariantes más complejos, proporcionando un soporte funcional más fuerte. Estas mejoras no solo resuelven las limitaciones en HyperPlonk, sino que también para no